BAB I
DERET
DERET adalah rangkaian
bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.
Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan
suku.
v Deret
Hitung
Adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan
penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan
suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai
dua suku yang berurutan.
Ada dua rumus yang digunakan dalam deret hitung :
Ø Untuk
mencari nilai suku ke n dari deret hitung
Sn = a+(n – 1)b
a = suku
pertama
b = pembeda
n = indeks
suku
Contoh:
Nilai
suku ke 101 dari deret hitung 3, 5, 7, 9, 11, … adalah….
Diket : a = 3
| b = 2 | n = 101
Dita : Sn?
Jwb : S101
= a + (n – 1) b
S101 = 3 + (101 – 1) 2
S101 = 3 + 100 x 2
S101 = 3 + 200
S101 = 203
Ø Untuk
mencari jumlah nilai dari semua suku pada deret hitung
Dn =
n(2a+(n–1)b)
a = suku
pertama
b = pembeda
n = indeks
suku
Contoh:
Berapa jumlah semua
suku s/d suku yang ke 25 dari deret 3, 5, 7, 9, 11, …
Diket : a = 3
| b = 2 | n = 25
Dita : D25?
Jwb : Dn =
n (2a + (n – 1) b)
D25 =
25
(2.3 + (25 – 1) 2)
D25 = 12,5 (6 + (24) 2)
D25 = 12,5 (6 + 48)
D25 = 12,5 x 54
D25 = 675
v Deret
Ukur
Adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan
perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku
deret ukur dinamakan pengganda, yaitu merupakan hasil bagi nilai suku terhadap
nilai suku didepannya.
Ada dua rumus yang digunakan dalam deret ukur:
Ø Mencari
nilai suku ke n dari deret ukur
Sn=a.
a = suku
pertama
p = pengganda
n = indeks
suku
Contoh:
Berapa nilai suku yang
ke 6 dari deret 2, 4, 8, 16, 32, …
Diket : a = 2
| p = 2 | n = 6
Dita : S6?
Jwb : S6=a.
S6= 2.
S6 = 2. 25
S6 = 2. 32
S6 = 64
Ø Mencari
jumlah sampai dengan n suku
Dn=
a = suku pertama
p = pembeda
n = indeks suku
Contoh:
Berapa jumlah semua suku yang ke 5 dari 2,
4, 8, 16, 32, …
Diket : a = 2
| p = 2 | n =5
Dita : D5?
Jwb : D5
=
D5 =
D5 =
D5 =
D5 =
D5 = 62
v Penggunaan
Deret dalam Ekonomi
Dalam bidang bisnis dan ekonomi, teori atau
prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut
perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu
gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret hitung
atau deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevan ditetapkan untuk
menganalisisnya.
Ø Model
perkembangan usaha
Jika perkembangan
variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, actor, produksi, biaya,
pendapatan, penggunaan tenaga atau penanaman modal, berpola seperti deret
hitung maka prinsip-prinsip deret hitung digunakan untuk menganalisis
perkembangan variabel tersebut. Berpola deret hitung maksudnya adalah variabel
bersangkutan bertambah secara konstan dari satu actoreke periode berikutnya.
Contoh soal:
Besarnya penerimaan PT.
YSSY dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta
pada tahun ke lima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila
perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penrimaannya
per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa
penerimaannyasebesar Rp 460 juta?
Diket : S5
= 720.000.000 | S7 = 980.000.000
Dita : b,
a, n dari Sn = 460.000.000?
Jwb : Sn = a + (n – 1) b
720 = a + (5-1) b
980 = a + (7-1) b
720 = a + 4b
980 = a + (6b) –
-260 =
-2b
130 = b
720 = a + (5 – 1) b
720 = a + 4 x 130
720 = a + 520
a =
720 – 520
a = 200
460 = 200 + (n – 1) 130
460 = 200 + 130n – 130
460 = 70 + 130n
n =
(460-70): 130
n =
390:130
n = 3
Ø Model
bunga majemuk
Adalah penerapan deret
ukur dalam kasus simpan pinjam dan investasi. Dengan modal ini dapat dihitung
misalnya, besarnya pengembalian tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk
mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima
dimana saja.
Jika misalnya modal
pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga pertahun setingkat I
maka jumlah akimulatif modal tersebut dimasa datang setelah n tahun (Fn) dapat
dihitung sebagai berikut:
Fn = P (1 + i) n
P = jumlah
sekarang
I = tingkat
bunga pertahun
n = jumlah
tahun
Rumus diatas mengandung
anggapan tersirat bahwa bunga diperhitungkan/ dibayarkan satu kali dalam satu
tahun. Apabila bunga diperhitungkan atau dibayarkan lebih dari satu kali
(missal m kali, masing-masing i/m pertermin) dalam satu tahun maka jumlah
dimasa depan menjadi:
Fn = P (1 +
)m.n
m = frekuensi
pembayaran bunga dalam satu tahun
Suku (1 + i) dan (1 +
) dalam dunia bisnis dinamakan “actor
bunga majemuk” (compounding interest factor) yaitu suatu bilangan yang lebih
besar dari satu bilangan yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa yang
akan datang dari suatu jumlah sekarang.
Dari rumus diatas
dengan manipulasi matematis dapat dihitung nilai sekarang apabila yang
diketahui jumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang (Present Value) dari suatu
jumlah uang tertentu dimasa datang adalah:
P =
atau P =
suku
atau
dinamakan “actor diskon to” (discount factor)
yaitu suatu bilangan yang lebih kecil dari satu yang dapat dipakai untuk
menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.
Contoh Soal 1:
Seorang
pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 4
tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 12% pertahun. Dari data tersebut
berapa seluruh uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat
pelunasan? Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar 4 bulanan, berapa
jumlah uang yang harus dikembalikan?
Diket : P=250.000.000
| n=4 | i=12%=0,12 |m=3
Dita : a. F4
jika dikembalikan pada saat pelunasan
b. F4 jika dibayar 4
bulanan
Jwb : a.
F4=P(1+i)n
F4=250.000.000(1+0,12)4
F4=250.000.000(1,12)4
F4=250.000.000(1,57)
F4=393379840
b. F4=P(1+
)m.n
F4=250.000.000(1+
)3.4
F4=250.000.000(1+0,04)12
F4=250.000.000(1,04)12
F4=250.000.000(1,601)
F4=400.258.054,64
Contoh
2:
Tabungan
seorang nasabah akan menjadi Rp56.700.000 tiga tahun yang akan datang. Jika
tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun berapa tabungan nasabah tersebut
pada saat sekarang? Apabila pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester
berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang?
Diket : F=56.700.000
| i=6%=0.06 | n=3 | m=2
Dita : a. P Jika
tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun
b. P pembayaran
bunga tidak pertahun tetapi persemester
Jwb: a. P=
F
P=
56.700.000
P=
P=
P=47.647.058,82
b. P=
P=
F
P=
P=
P=47.647.058,82
Lihat catatan Lengkapnya
Disini
Cara dowload
1. klik disini maka akan mucul tab baru yaitu linkshirk
2. tunggu 5 detik hinnga muncul SKIP ADD. klik
3. jika belum muncul Linkshirk, kembali langkah diatas
